二叉树

二叉树是每个结点至多只有两棵子树，且子树有左右之分的树。

几个特殊的二叉树

• 满二叉树（Full Binary Tree）：高度为 $h$ 且有 $2^h-1$ 个结点的二叉树
• 完全二叉树（Complete Binary Tree）：深度为 $h$ 的具有 $n$ 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 $h$ 的满二叉树中编号 $1\sim n$ 的结点一一对应
• 二叉排序树（Binary Search Tree, BST）：左子树所有结点的关键字均小于根结点，右子树所有结点的关键字均大于根结点，且左右子树又各是一棵二叉排序树
• 平衡二叉树（Balanced Binary Tree, AVL）：任一结点的左、右子树深度之差不超过 1

性质

• 非空二叉树上的叶子结点数等于度为 2 的结点数加 1，即 $n_0=n_2+1$
• 非空二叉树第 $k$ 层上至多有 $2^{k-1}$ 个结点
• 高度为 $h$ 的二叉树至多有 $2^h-1$ 个结点
• 对完全二叉树按从上到下、从左到右编号 $1,2,\dots ,n$：
  • 当 $i>1$ 时，结点 $i$ 的双亲编号为 $\lfloor i/2\rfloor$
  • 当 $2i\le n$ 时，结点 $i$ 的左孩子编号为 $2i$
  • 当 $2i+1\le n$ 时，结点 $i$ 的右孩子编号为 $2i+1$
  • 结点 $i$ 所在层次为 $\lfloor {\log }_{2}i\rfloor +1$
• 具有 $n$（$n>0$）个结点的完全二叉树的高度为 $\lceil {\log }_2(n+1)\rceil$ 或 $\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$

存储结构

顺序存储

完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适；对于一般的二叉树，需要添加并不存在的空结点。

#define MAXSIZE 100
typedef TElemType SqBiTree[MAXSIZE];
SqBiTree bt;

链式存储（二叉链表）

typedef struct BiTNode {
    TElemType data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;

在含有 $n$ 个结点的二叉链表中，含有 $n+1$ 个空链域。

三叉链表在二叉链表基础上增加了指向双亲的 parent 指针。